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14.10.2019

Für das Bauen einer Modellbahnanlage mögen die Maßangaben in den Katalogen von Piko sicher ausreichen. Wenn man jedoch eine Anlage in einem CAD-Programm zeichnen möchte, können die Maße nie präzise genug sein.
Ich habe mir die Beschreibung im Katalog genauer durchgelesen und die Maße anhand der Basisdaten komplett neu berechnet. Die Abweichungen zu den Katalogmaßen sind nur gering und bewegen sich im 100stel mm-Bereich. Viel interessanter ist der Berechnungsweg, den Piko zur Konstruktion seiner Maße zugrunde gelegt hat.

Piko gibt zunächst eine Modullänge von 470mm vor. Damit ist die kreative Ader von Piko aber auch schon ausgeschöpft. Aus dem Modulmaß lassen sich alle Gleislängen der geraden Gleise, die Gleisabstände und Kreisradien ableiten. Folgende mathematische Funktionen sind hierzu nötig:

Bogenmaß, Sinus, Cosinus und Tangens. Da eine Weiche zum Parallelgleis einen Winkel von 15° haben soll, kann man anhand der Funktionen das Modulmaß in die zwei Grundlängen der Geraden aufteilen. Zunächst sind also die Werte aus dem Winkel von 15° zu bestimmen, mit deren Hilfe dann weiter gerechnet wird.

Aus dem Winkel von 15° ergibt sich das Bogenmaß von 0,261799387799149 rand (alle Zahlen werden erst am Ende der Rechnung gekürzt.), woraus der Cosinus von 0,965925826289068 resultiert. Außerdem wird der Wert Cosinus+1 benötigt, also 1,965925826289068, sowie der Sinus mit 0,258819045102521 und zuletzt der Tangens aus dem Bogenmaß mit 0,267949192431123.

Teilt man die Modullänge durch Cosinus+1, erhält man die Gerade G239 mit genau 239,073109328435mm, also 239,073mm, wie es der Hersteller angibt. Zieht man vom Modulmaß dieses Maß ab, erhält man die Länge für G231 mit 230,926890671565mm, also 230,927mm. Wenn man G239 durch 2 teilt, erhält man die Geraden G119 mit 119,536554664218mm (119,537)  und G115 mit 115,463445335783mm (115,463) äquvalent aus G231 durch 2. Das Zwischenstück G107 ergibt sich aus 3*G115-G239 bzw. G115+G231-G239 und beträgt exakt 107,317226678913mm (107,317mm).

Das kleinste Stück ist gleichzeitig der Gleisabstand und errechnet sich etwas anders. Den Wert für G62 erhält man aus der kürzeren Geraden zum Weichengegenbogen G231 und multipliziert ihn mit dem Tangens aus obigen Bogenmaß und erhält den exakten Wert von 61,876673866076mm, also 61,877mm. Damit ist die Längenberechnung der geraden Gleise fertig.

Als Grundkreis hat Piko einen Radius von 360mm festgelegt (entspricht dem absoluten Mindestradius nach NEM111 auf 10mm aufgerundet) und addiert zu jedem weiteren Radius einfach den Gleisabstand bzw. G62 hinzu. Damit ergeben sich für R1=360mm, R2=421,876673866076mm (421,877mm), R3=483,753347732152mm (483,753mm) und R4=545,630021598228mm (545,63mm).

Der Bogen R9 fällt aus dem Schema, da vom Grundradius von 360mm nicht durch Addition von Vielfachen des Gleisabstand auf einen Bogen hochgerechnet werden kann, der in Kombination mit dem Gegenbogen auf die Modullänge kommt. Der Grundradius von 360mm passt nicht ideal auf die Modullänge von 470mm.

Der Gleisabstand besteht aus Bogen und Gegenbogen eines Gleisstückes, welches bei einem Winkel von 15° und Gegenwinkel von 15° wieder die Modullänge ergeben soll. Teilt man die Modullänge von 470mm durch 2 und durch den Sinus, erhält man für R9=907,970276711724mm (907,97mm).

Damit sind alle Maße aus dem Katalog hochgenau für CAD-Programme nachrechenbar.

Die Kreuzung K15 (15°) basiert auf G239, die Kreuzung K30 (30°) basiert auf G119. Die Schwellen für das Flexgleis haben die halbe Länge des Gleisabstand von 30,938mm.

Die CAD-Katalogbilder der Bogenweichen täuschen einen durchgehenden Bogen des äußeren Gleises vor. Tatsächlich sind beide Bögen identisch und nur durch ein gerades Stück G62 versetzt angeordnet. Auf komplizierte Formeln oder Berechnungen mit Parabeln wurde bei Piko verzichtet.

Der schöne Werbespruch aus dem Piko-Katalog, dass alle Gleisgeometrien auf Hochleistung-CAD-Maschinen berechnet wurden, erscheint anhand der verwendeten Standard-Kreisfunktionen etwas weit hergeholt. Selbst mein alter Taschenrechner bekommt das hin.

Hier noch einmal die Maße, gerundet auf drei Nachkommastellen:

R1=360mm
R2=421,877mm
R3=483,753mm
R4=545,630mm
R9=907,970mm

Modullänge=470mm
G239=239,073mm
G231=230,927mm
G119=119,537mm
G115=115,463mm
G107=107,317mm
G62=61,877mm

Die Strecke (Bogenlänge) der Gleise bei R1-R4:30° bzw.R9:15° ist:

R1=188,496mm
R2=220,894mm
R3=253,293mm
R4=285,691mm
R9=237,706mm